Question

11．设向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），则向量$\overrightarrow{a}$的模为2；向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 可先求出$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，这样即可根据$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3+1}=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2×\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故答案为：2，$\frac{π}{3}$．

点评 考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．