Question

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（-x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=

x3

，又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的零点个数为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性与函数的解析式，求出函数f（x）、g（x）在x∈[0，

1

2

]，x∈[

1

2

，

3

2

]上的解析式，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断函数交点的个数即可．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数；
又∵f（-x）=f（2-x），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是周期为2的函数；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=

x3

，
∴当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，
f（x）=f（-x）=f（2-x）=

(2-x)3

；
当x∈[0，

1

2

]时，g（x）=xcos（πx），
当x∈[

1

2

，

3

2

]时，g（x）=-xcosπx；
∵函数f（x）、g（x）都是偶函数，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
g（

1

2

）=g（

3

2

）=0，
作出函数f（x）、g（x）的草图，如图所示：
函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[-

1

2

，0），（0，

1

2

），[

1

2

，1），（1，

3

2

]上各有一个零点，
共有6个零点．
故选：B．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性与周期性，判断函数零点的问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．