Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的中点，Q为线段PC₁上的中点．
（1）求证：DP⊥平面ABC₁D₁；
（2）求证：CQ∥平面BDP．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用正方体的性质得到AB⊥平面AA₁D₁D，得到DP⊥AB，又P为AD₁的中点，所以DP⊥AD₁，由线面垂直的判定定理证明；
（2）连BC₁，与B₁C相交于H，则QH∥PB，又CH∥PD，QH∩CH=H，利用线面平行的判定定理证明．

解答： 证明（1）因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，-------（2分）
DP?平面AA₁D₁D，所以DP⊥AB，-------（3分）
又P为AD₁的中点，所以DP⊥AD₁，-------（4分）
AB∩AD₁=A，所以DP⊥平面ABC₁D₁---------（6分）
（2）证明：连BC₁，与B₁C相交于H，则QH∥PB，又CH∥PD，QH∩CH=H，
所以平面QHC∥平面PBD，所以CQ∥平面BDP-------（14分）

点评：本题考查了线面垂直和线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练运用定理．