Question

已知抛物线C：y²=4x和直线l：y=x+4．
（Ⅰ）求抛物线C上一点到直线l的最短距离；
（Ⅱ）设M为l上任意一点，过M作两条不平行于x轴的直线．若这两条直线与抛物线C都只有一个公共点，这两个公共点分别记为A，B，证明：直线AB过定点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设所求点为（x，y），求出点到直线l的距离，利用配方法，即可得出结论；
（Ⅱ）设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为，代入x²=4y，消元，利用△=0，即可确定k=

x1

2

，利用切线过点M（x₀，y₀），所以可得y₀=

x1

2

x₀-y₁，同理可得y₀=

x2

2

x0-y，由此可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点．

解答： 解：（Ⅰ）设所求点为（x，y），则d=

|x-y+4|

2

=

| y2 4 -y+4|

2

=

| 1 4 (y-2)2+3|

2

，
∴y=2时，即（1，2）到直线l的距离最短，最短距离为

3 2

2

；
（Ⅱ）设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），代入x²=4y，消元，利用△=0，即可确定k=

x1

2

，利用切线过点M（x₀，y₀），所以可得y₀=

x1

2

x₀-y₁，同理可得y₀=

x2

2

x0-y，由此可得直线AB的方程y₀=

x

2

x₀-y，即直线AB的方程为x₀x=2（y₀+y）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=x+4上任意一点，故x₀x=2（x₀+4+y），所以x=2，y=-4，从而直线AB恒过定点（2，-4）．

点评：本题考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．