Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相较于A，B两点，且点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，当k₁•k₂取最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得：b=c=

2

，a=2，即可得出椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）当直线l的斜率为0时，利用向量计算公式可得k₁k₂=

3

4

；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立可得（m²+2）y²+2my-3=0，利用斜率计算公式与根与系数的关系可得k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

3

4

+

4m+1

8m2+12

，令t=4m+1，只考虑t＞0时，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得：b=c=

2

，a=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）当直线l的斜率为0时，k₁k₂=

3

4-2

×

3

4+2

=

3

4

；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x=my+1 x2+2y2=4

，化为（m²+2）y²+2my-3=0，
y1+y2=

-2m

m2+2

，y₁y₂=

-3

m2+2

，
又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

(3-y1)(3-y2)

(3-my1)(3-my2)

=

9-3(y1+y2)+y1y2

9-3m(x1+x2)+m2x1x2

=

3m2+2m+5

4m2+6

=

3

4

+

4m+1

8m2+12

，
令t=4m+1，只考虑t＞0时，
∴k₁•k₂=

3

4

+

2t

t2-2t+25

=

3

4

+

2

(t+ 25 t )-2

≤1，当且仅当t=5时取等号．
综上可得：直线l的方程为：x-y-1=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．