Question

已知椭圆C与双曲线x²-

y2

3

=1的焦点相同，且与直线y=x+4有公共点，当椭圆C的长轴最短时，椭圆C的离心率=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据已知条件便可得到c=2，并且可设出椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，并且得到方程组

x2 a2 + y2 a2-4 =1 y=x+4

有解，从而得到方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解，所以根据判别式△≥0得到a²≥10，所以a的最小值为

10

，所以带入椭圆的离心率公式即可求其离心率．

解答： 解：椭圆C的焦点为（-2，0），（2，0）；
∴设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1；
椭圆C与直线y=x+4有公共点；
∴方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1，即(

1

a2

+

1

a2-4

)x2+

8

a2-4

x+

16

a2-4

-1=0有解；
∴△=a⁴-14a²+40≥0；
解得a²≥10，或a²≤4；
∵a＞2；
∴a²≥10；
∴a的最小值为

10

；
∴该椭圆的离心率为

c

a

=

2

10

=

10

5

．
故答案为：

10

5

．

点评：考查双曲线、椭圆的标准方程，椭圆的长轴、焦点的概念，椭圆与直线有公共点时对应的方程的关系，一元二次方程有解的充要条件，以及椭圆离心率的计算公式．