Question

已知菱形ABCD与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1相切，则菱形ABCD面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：画出图形，结合椭圆的对称性，菱形ABCD最小值转化为三角形ABO面积的最小值，利用三角代换通过椭圆去切线方程，求出三角形的面积的表达式，然后求解即可．

解答： 解：因为椭圆的对称轴是坐标轴，所以菱形ABCD的对称轴也是对称轴，如图，要求菱形ABCD最小值，就是求解三角形abo的最小值，
设P（2cosθ，

3

sinθ），θ∈(0，

π

2

)，
则AB是方程为：

xcosθ

2

+

ysinθ

3

=1，
可得A（0，

3

sinθ

），B（

2

cosθ

，0）．
菱形ABCD的面积为：4×

1

2

×

3

sinθ

×

2

cosθ

=

8 3

sin2θ

，
∵θ∈(0，

π

2

)，
∴2θ∈（0，π），
∴

8 3

sin2θ

≥8

3

当且仅当θ=

π

4

，菱形ABCD面积的最小值为8

3

．
故答案为：8

3

．

点评：本题考查直线与椭圆的我最关心的综合应用，考查数形结合以及三角代换的应用，考查计算能力．