Question

已知f（t）=log₂t，t∈[

2

，8]对f（t）值域内所有实数m都成立，不等式x²+（m-4）x+4-2m＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由t∈[

2

，8]，得f（t）∈[

1

2

，3]，x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，问题转化为g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，运用一次函数的图象和性质，由此能求出x的取值范围．

解答： 解：∵t∈[

2

，8]，∴f（t）∈[

1

2

，3]
原题转化为：m（x-2）+（x-2）²＞0恒成立，为m的一次函数，
当x=2时，不等式不成立．
∴x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，
问题转化为g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，
则：

g( 1 2 )＞0 g(3)＞0

，即

(x-2)(x- 3 2 )＞0 (x-2)(x+1)＞0

，即有

x＞2或x＜ 3 2 x＞2或x＜-1

．
解得：x＞2或x＜-1．
则有x的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用和构造一次函数，运用图象和性质解题．