Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，其中常数a，b，c∈R．
（1）若f（3）=f（-1）=-5，且f（x）的最大值是3，求函数f（x）的解析式；
（2）a=1，若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合题意得到关于a，b，c的方程组，解出即可；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=-5}\\{a-b+c=-5}\\{\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-2，b=4，c=1，
∴f（x）=-2x²+4x+1；
（2）函数f（x）=x²+bx+c对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
记f（x）_max-f（x）_min=M，则M≤4．
当|-$\frac{b}{2}$|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；
当|-$\frac{b}{2}$|≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（-1）}-f（-$\frac{b}{2}$）=$\frac{f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）|}{2}$-f（-$\frac{b}{2}$）=（1+$\frac{|b|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
综上，b的取值范围为-2≤b≤2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．