Question

12．已知y=f（x）为定义在R上奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2lnx-mx+$\frac{1}{2}$x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，2]上单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质求出f（x）在（-∞，0）和x=0时的解析式；
（2）令f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，转化为求函数的最值问题．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=2ln（-x）+mx+$\frac{1}{2}$x²，
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-2ln（-x）-mx-$\frac{1}{2}$x²．（x＜0）
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2lnx-mx+\frac{1}{2}{x}^{2}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-2ln（-x）-mx-\frac{1}{2}{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）当1≤x≤2时，f′（x）=$\frac{2}{x}$-m+x，
∵f（x）在[1，2]上单调递减，∴$\frac{2}{x}$-m+x≤0在[1，2]上恒成立．
∴m≥$\frac{2}{x}+x$在[1，2]上恒成立．
令g（x）=$\frac{2}{x}+x$，则g′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0得1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=0，解得x=$\sqrt{2}$．
∴当1≤x$＜\sqrt{2}$时，g′（x）＜0，当$\sqrt{2}＜$x≤2时，g′（x）＞0．
∵g（1）=3，g（2）=3．
∴g_max（x）=3．
∴m≥3．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数的最值及函数恒成立问题，属于中档题．