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已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点,且直线l与x轴交于点C.
(1)若以A,B为直径的圆经过坐标原点,求此时的直线l的方程;
(2)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;
(3)设
MA
=α
AC
MB
=β
BC
,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
(1)设l的方程为y=kx+2(k≠0)与抛物线y2=4x联立,可得k2x2+(4k-4)x+4=0
由△>0,k≠0,可得k<
1
2
且k≠0
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
4k-4
k2
①,x1x2=
4
k2

∵以A,B为直径的圆经过坐标原点,
∴x1x2+y1y2=0
∴(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0
4+8k
k2
=0

k=-
1
2

∴此时的直线l的方程为x+2y-4=0;
(2)证明:∵|MA||MB|=
1+k2
|x1-0|
1+k2
|x2-0|
=
4(1+k2)
k2

|MC|2=(
1+k2
|-
2
k
-0|)2
=
4(1+k2)
k2

∴|MC|2=|MA||MB|≠0
∴|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;
(3)由
MA
=α
AC
MB
=β
BC
,得α=
-kx1
kx1+2
β=
-kx2
kx2+2

∴α+β=
-2k2x1x2-2k(x1+x2)
k2x1x2+2k(x1+x2)+4

把①②代入,可得α+β=-1,即α+β为定值-1.
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y
2
 
=4x
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FA
|+|
FB
|
=
7
7

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7

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