Question

7．已知圆P过A（-8，0），B（2，0），C（0，4）三点，圆Q：x²+y²-2ay+a²-4=0．
（1）求圆P的方程；
（2）如果圆P和圆Q相外切，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）设圆P的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待宝系数法能求出圆P的方程．
（2）圆P的圆心P（-3，0），半径r=5，圆Q的圆心Q（0，a），半径r=2，由圆P和圆Q相外切，得|PQ|=5+2=7，由此利用两点间距离公式能求出a．

解答 解：（1）设圆P的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆P过A（-8，0），B（2，0），C（0，4）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{64-8D+F=0}\\{4+2D+F=0}\\{16+4E+F=0}\end{array}\right.$，解得D=6，E=0，F=-16，
∴圆P的方程为x²+y²+6x-16=0．
（2）圆P的方程即（x+3）²+y²=25，∴圆心P（-3，0），半径r=5，
圆Q：x²+y²-2ay+a²-4=0，即x²+（y-a）²=4，
圆心Q（0，a），半径r=2，
∵圆P和圆Q相外切，∴|PQ|=5+2=7，
∴（-3-0）²+（0-a）²=7²，
解得a=$±2\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．