Question

2．当曲线y=-$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （$\frac{3}{4}$，1]
• D． （$\frac{3}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 曲线y=-$\sqrt{4-{x}^{2}}$是以O（0，0）为圆心，以2为半径的下半圆，直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），由此作出图形，结合图形得当曲线y=-$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围．

解答 解：如图，曲线y=-$\sqrt{4-{x}^{2}}$是以O（0，0）为圆心，以2为半径的下半圆，
直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），
A（-2，0），B（2，0），k_BD=$\frac{-4-0}{-2-2}$=1，
设直线kx-y+2k-4=0与圆相切时，
圆心O（0，0）到直线的距离：
d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
结合图形得当曲线y=-$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，
实数k的取值范围是（$\frac{3}{4}$，1]．
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．