Question

13．已知圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）圆C的圆心C（0，4）半径r=2，由直线l：ax+y+2a=0与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出a的值．
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$时，d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，再由圆心到直线的距离d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，列出方程，求出a，由此能求出直线方程．

解答 （12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C：x²+y²-8y+12=0的圆心C（0，4）半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{64-48}$=2，------1分
∵直线l：ax+y+2a=0与圆相切，
∴d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，解得a=-$\frac{3}{4}$．---5分
（2）∵圆心到直线的距离d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$时，d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，-----7分
∴d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-7或a=-1．
∴所求直线为7x-y+14=0或x-y+2=0．------12分

点评 本题主要考查直线和圆相切时实数值的求法，考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．