Question

16．（Ⅰ） 比较下列两组实数的大小：
①$\sqrt{2}$-1与2-$\sqrt{3}$；           ②2-$\sqrt{3}$与$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
（Ⅱ） 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，对于①、②，将不等式的左右两边同时平方，再作差比较大小，即可得答案；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$，利用作差法证明即可得证明．

解答 解：（Ⅰ） ①（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）²-（2+1）²=2$\sqrt{6}$-4＞0．
故$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$＞2+1，即$\sqrt{2}$-1＞2-$\sqrt{3}$．
②（2+$\sqrt{5}$）²-（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）²=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{18}$=2$\sqrt{20}$-2$\sqrt{18}$＞0．
故2+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，即2-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$．
证明如下：左-右=（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）-（$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$）=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}$=$\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2）}}$＞0，
则有$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$．

点评 本题考查不等式大小的比较，关键是掌握不等式大小比较的常见方法．