Question

4．已知f（x）=x³+x²+ax，a∈R是常数，若曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线，求a．

Answer 1

分析 设出平行于直线y=x且与曲线相切的切点为（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由题意可得关于m的方程3m²+2m+a-1=0有两个相等实数根，由判别式为0，可得a的值．

解答 解：设平行于直线y=x且与曲线相切的切点为（m，n），
由f（x）=x³+x²+ax的导数为f′（x）=3x²+2x+a，
可得切线的斜率为3m²+2m+a=1，
曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线，
可得关于m的方程3m²+2m+a-1=0有两个相等实数根，
则△=4-12（a-1）=0，
解得a=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想，运用二次方程有两个实根的条件，考查运算能力，属于中档题．