Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=，
（Ⅰ）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B₁C₁的中点，点M在平面AA₁B₁B内，且MN⊥平面A₁B₁C，求线段BM的长．

Answer 1

如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点， 依题意，得， ，  （Ⅰ）易得， 于是， 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为。 （Ⅱ）易知， 设平面AA1C1的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 从而， 所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为。 （Ⅲ）由N为棱B1C1的中点，得， 设M（a，b，0），则， 由MN⊥平面A1B1C1， 得， 即， 解得，故， 因此， 所以线段BM的长为。