Question

1．已知点A（2，4），B（4，-1），C（1，y）．$\overrightarrow{BD}$=（-1，2）
（1）求D点坐标；
（2）若AC⊥BD．求y的值；
（3）求cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞．

Answer 1

分析 （1）设D（m，n），根据向量的坐标运算即可求出，
（2）根据向量垂直的条件即可求出，
（3）根据向量的夹角公式即可求出．

解答 解：（1）设D（m，n），
∵B（4，-1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2），
∴m-4=-1，n+1=2，
∴m=3，n=1，
∴D（3，1），
（2）∵A（2，4），B（4，-1），C（1，y），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2）
∴$\overrightarrow{AC}$=（-1，y-4），
∵AC⊥BD，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-1×（-1）+2（y-4）=0，
∴y=$\frac{7}{2}$，
（3）由（1）可知$\overrightarrow{AD}$=（1，-3），$\overrightarrow{AB}$=（2，-5），
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{29}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1×2+（-3）×（-5）=17，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{17}{\sqrt{10}•\sqrt{29}}$=$\frac{17\sqrt{290}}{290}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．