【题目】已知函数f(x)=a1nx﹣ax+1(a∈R且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:(n≥2,n∈N*).
【答案】(1)当a>0时, f(x)的单调递增区间(0,1),单调递减区间(1,+∞);
当a<0时, f(x)的单调递减区间(0,1),单调递增区间(1,+∞);
(2)证明,见解析
【解析】
(1)对f(x)求导,分a>0,a<0两种情况讨论,分析函数单调性即可;
(2)令a=1,由(1)可证得lnx<x﹣1,即,叠乘可得证.
(1)∵f(x)=a1nx﹣ax+1,∴f′(x)a,
①当a>0时,
若0<x<1,则f′(x)>0,若x>1,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间(0,1),单调递减区间(1,+∞);
②当a<0时,
若0<x<1,则f′(x)<0,若x>1,f′(x)>0,
∴f(x)的单调递减区间(0,1),单调递增区间(1,+∞);
(2)令a=1,则f(x)=lnx﹣x+1,所以f(1)=0,
由(1)可知f(x)在[1,+∞)单调递减,
故f(x)≤f(1),(当x=1时取等号),
所以lnx﹣x+1<0,即lnx<x﹣1,
从而有0<lnn<n﹣1,(n≥2,n∈N*),
即(n≥2,n∈N*),
∴(n≥2,n∈N*).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,直线的参数方程为(是参数),曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线交于,两点,点为曲线上一点,求使面积取得最大值时的点坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若射线与曲线相交于点,将逆时针旋转后,与曲线相交于点,且,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某产品的广告支出(单位:万元)与销售收入(单位:万元)之间有下表所对应的数据:
广告支出(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
销售收入(单位:万元) | 12 | 28 | 42 | 56 |
(1)画出表中数据的散点图;
(2)求出对的线性回归方程;
(3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为,.
(1)求直线与圆相切的概率;
(2)将,,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com