Question

设，．
（1）令，讨论在内的单调性并求极值；
（2）求证：当时，恒有．

Answer 1

(1) 在内是减函数，在内是增函数, 在处取得极小值 ;(2)详见解析.

试题分析：（1）先根据求导法求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间及极值即可．
（2）欲证x＞ln²x-2a ln x+1，即证x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要证f（x）＞f（1），根据第一问的单调性即可证得.
试题解析：解（1）解：根据求导法则有，
故，         3分
于是，
列表如下：

		2
		0
	递减	极小值	递增

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． 6
（2）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．    .12