Question

已知函数f(x)＝ax³＋(a－2)x＋c的图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝x³－x＋3
（2）[1，＋∞)

(1)∵f′(x)＝ax²＋a－2，
由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0.
得即
∴f(x)＝x³－x＋3.
(2)∵g(x)＝－2ln x＝kx－－2ln x，
∴g′(x)＝k＋－＝.
∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx²＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．
即k≥在区间(0，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h(x)＝＝≤1(当且仅当x＝1时取等号)．
∴k≥1.
∴实数k的取值范围是[1，＋∞)．