Question

已知函数f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x²＋x)．
(1)若a＝，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
（2）[1，＋∞)

解：(1)若a＝，
则F(x)＝ln x＋2x－x²－x，
其定义域是(0，＋∞)，
则F′(x)＝＋2－x－
＝－.
令F′(x)＝0，得x＝2，x＝－ (舍去)．
当0<x<2时，F′(x)>0，函数单调递增；
当x>2时，F′(x)<0，函数单调递减．
即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)
＝ln x＋2x－ax²－ax，
则F′(x)＝－，
当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)单调递增，
F(x)≤0不可能恒成立；
当a>0时，令F′(x)＝0，
得x＝，x＝－ (舍去)．
当0<x<时，F′(x)>0，函数单调递增；
当x>时，F′(x)<0，函数单调递减．
故F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F，依题意F≤0恒成立，
即ln＋－1≤0.
令g(a)＝ln＋－1，又g(x)单调递减，且g(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要条件是a≥1，
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．