Question

设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e^x－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．

Answer 1

(e，＋∞)

解：令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a^－1，即f(x)在(a^－1，＋∞)上是单调减函数．
同理，f(x)在(0，a^－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a^－1，＋∞)，从而a^－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e^x－a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.
综上，a的取值范围为(e，＋∞)．