Question

已知
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若对任意的,恒有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）极大值，极小值1；（2）参考解析；（3）

试题分析：（1）由已知，求函数导函数，又.即可得到函数的极值点，从而求得极值.
（2）当时， 的导数为零时，得到两个零点.所以要讨论的大小，从而确定函数的单调性.
（3）因为对任意的,恒有成立.即求出的最大值.所以恒成立.再利用分离变量，即可得结论.
试题解析：（1）当a=1时可知在上是增函数，在上是减函数. 在 上是增函数
∴的极大值为，的极小值.

①当时，在和上是增函数，在上是减函数
②当时，在上是增函数；
③当时，在和上是增函数，在上是减函数
（3）当时，由（2）可知在上是增函数，
∴
由对任意的a∈(2, 4)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，
∴
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由于，∴.