【题目】如图,在直三棱柱中,,,,.
(1)求三棱柱的体积;
(2)若点M是棱AC的中点,求直线与平面ABC所成的角的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=60°,BB1=3,AB=4,BC=4.能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.
(2)点M是棱AC的中点,B1M在平面ABC的射影为直线MB,则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小,由此能求出直线B1M与平面ABC所成的角的大小.
(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
∠ABC=60°,BB1=3,AB=4,BC=4.
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积:
V12.
(2)点M是棱AC的中点,
B1M在平面ABC的射影为直线MB,
则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小,
tan∠B1MB,
∴∠B1MB=arctan.
∴直线B1M与平面ABC所成的角的大小为arctan.
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【题目】已知命题p:x∈R,2mx2+mx-<0,命题q:2m+1>1.若“p∧q”为假,“p∨q”为真,则实数m的取值范围是( )
A. (-3,-1)∪[0,+∞) B. (-3,-1]∪[0,+∞)
C. (-3,-1)∪(0,+∞) D. (-3,-1]∪(0,+∞)
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【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表:
学时数 |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】下列命题中,错误的是( )
A.一条直线和直线外一点确定一个平面
B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.若直线不平行平面,则在平面内不存在与平行的直线
D.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
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【题目】已知F1,F2分别是椭圆C:1(>b>0)的左、右焦点,过F2且不与x轴垂直的动直线l与椭圆交于M,N两点,点P是椭圆C右准线上一点,连结PM,PN,当点P为右准线与x轴交点时有2PF2=F1F2.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)当点P的坐标为(2,1)时,求直线PM与直线PN的斜率之和.
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【题目】已知椭圆的离心率是,上顶点B是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的两个动点,且(是坐标原点),试问:点到直线的距离是否为定值?若是,试求出这个定值;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若PA=PD=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.
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