Question

有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．

（1）证明 （，是的多项式），并求的值；

（2）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．

（3）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式  成立的所有的值．

Answer 1

解：（1）由题意知．，

同理，，，…，．

又因为成等差数列，所以.

故，即是公差为的等差数列．

所以，．

令，则，此时．

（3）由（2）得，.

故不等式 就是．考虑函数．

当时，都有，即．而，

注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立．    所以,满足条件的所有正整数．