Question

平面向量

a

=（1，2），

b

=（-4，2），

c

=m

a

+

b

（m∈R）．
（1）若

a

⊥

c

，求m的值；
（2）若

c

与

a

的夹角等于

c

与

b

的夹角，求|

c

|的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（2）利用向量的夹角公式和数量积运算即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

c

，

c

=m

a

+

b

（m∈R）．
∴

a

•

c

=

a

•(m

a

+

b

)=m

a

2+

a

•

b

=m×(

5

)2-4+4=0，
解得m=0．
（2）

b

•

c

=

b

•(m

a

+

b

)=m

a

•

b

+

b

2=m（-4+4）+（16+4）=20．
∵

c

与

a

的夹角等于

c

与

b

的夹角，∴cos＜

a

，

c

＞=cos＜

c

，

b

＞，
∴

a • c

| a | | c |

=

b • c

| b | | c |

，
∴

5m

5

=

20

20

，解得m=2．∴

c

=2

a

+

b

=2（1，2）+（-4，2）=（-2，6）．
∴|

c

|=

(-2)2+62

=2

10

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式和数量积运算，属于基础题．