Question

18．已知数列{a_n}通项a_n=10ⁿ（n∈N^*），${b_n}=\frac{1}{{lg{a_n}•lg{a_{n+2}}}}$，则数列{b_n}前n项和为（　　）

• A． $1-\frac{1}{n+2}$
• B． $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
• C． $\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
• D． $2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$

Answer 1

分析 通过数列{a_n}通项公式及对数运算法则，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：∵数列{a_n}通项a_n=10ⁿ（n∈N^*），${b_n}=\frac{1}{{lg{a_n}•lg{a_{n+2}}}}$，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{b_n}前n项和为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
故选：C．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．