Question

10．设θ为第四象限角，若$tan（θ+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，则sinθ+2cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 由θ为第四象限角，已知等式利用两角和与差的正切韩式公式化简求出tanθ的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，代入原式计算即可得到结果．

解答 解：∵θ为第四象限角，且tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+1}{1-tanθ}$=$\frac{1}{2}$，
∴2tanθ+2=1-tanθ，即tanθ=-$\frac{1}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinθ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则原式=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{6\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$

点评 此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．