Question

5．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设递增等比数列{a_n}的公比为q（q＞1）可知a_n=q^n-1，代入a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36配方化简，进而计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=$\frac{n}{2}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，设递增等比数列{a_n}的公比为q（q＞1），
则a_n=q^n-1，
∵a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36，
∴q⁴-2q⁶+q⁸=36，即（q⁴-q²）²=36，
∴q⁴-q²=6，
解得：q²=3或q²=-2（舍），
∴q=$\sqrt{3}$，数列{a_n}的通项公式a_n=${3}^{\frac{n-1}{2}}$；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
又∵a_n²=3^n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2}$•1+$\frac{2}{2}$•3+$\frac{3}{2}$•3²+…+$\frac{n}{2}$•3^n-1，
3S_n=$\frac{1}{2}$•3+$\frac{2}{2}$•3²+…+$\frac{n-1}{2}$•3^n-1+$\frac{n}{2}$•3ⁿ，
两式相减得：（1-3）S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（3+3²+…+3^n-1）-$\frac{n}{2}$•3ⁿ
=$\frac{1}{2}$（1+3+3²+…+3^n-1）-$\frac{n}{2}$•3ⁿ
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{n}{2}$•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{1-3}$•（$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{n}{2}$•3ⁿ）
=$\frac{1-{3}^{n}}{8}$+$\frac{n}{4}$•3ⁿ
=$\frac{1}{8}$+（$\frac{n}{4}$-$\frac{1}{8}$）•3ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．