Question

14．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是$\sqrt{5}$$＜x＜\sqrt{13}$．其中正确命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根据正弦定理判断得出sinA=$\frac{5\sqrt{3}}{7}$＞1不成立；
②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα=$\frac{9{x}^{2}+25{x}^{2}-49{x}^{2}}{30{x}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$＜0，
③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．

解答 解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，
由正弦定理 $\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$可知，
$\frac{10}{sinA}=\frac{7}{sin60°}$，
所以sinA=$\frac{5\sqrt{3}}{7}$＞1，故错误；
②若三角形的三边的比是3：5：7，
根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，
由余弦定理得：cosα=$\frac{9{x}^{2}+25{x}^{2}-49{x}^{2}}{30{x}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
则最大角为120°，故正确；
③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，
则最大角为B或C所对的角，
∴cosB=$\frac{4+{x}^{2}-9}{4x}$＞0，得是$\sqrt{5}$＜x，
cosC=$\frac{4+9-{x}^{2}}{12}$＞0，得x＜$\sqrt{13}$．
则x的取值范围是$\sqrt{5}$$＜x＜\sqrt{13}$，故正确；
故选：C．

点评 考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．