Question

4．给出下列命题：
①命题“?x∈k，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”
②函数$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}（a＞0$且a≠1）在R上是单调函数
③设f（x）是R上的任意函数，则f（x）|f（-x）|是奇函数，f（x）+f（-x）是偶函数
④定义在R上的函数f（x）对任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，则f（x）为周期函数
其中真命题的是①②④（把所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 写出原命题的否定，可判断①；分析函数的单调性，可判断②；分析函数的奇偶性，可判断③；分析函数的周期性，可判断④．

解答 解：①命题“?x∈k，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故正确；
②函数$f（x）=\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}=\frac{-2}{{a}^{x}+1}+1（a＞0$且a≠1），
当0＜a＜1时函数在R上是单调递减函数，
当a＞1时函数在R上是单调递增函数，故②正确；
③设f（x）是R上的任意函数，
当f（x）是偶函数时，则f（-x）|f（x）|=f（x）|f（-x）|，
此时f（x）|f（-x）|也是偶函数，错误；
但f（x）+f（-x）一定是偶函数，故（3）错误；
④定义在R上的函数f（x）对任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，则$f（x-4）=-\frac{4}{f（x-2）}=-\frac{4}{-\frac{4}{f（x）}}$=f（x），即f（x）为周期是4的周期函数，故正确；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，周期性，命题的否定，难度中档．