已知在直角坐标系xOy中.圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$.定点$A$.F1.F2是圆锥曲线C的左.右焦点．(1)以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程,中直线l与圆锥曲线C交于M.N两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），定点$A（{0，-\sqrt{3}}）$，F₁，F₂是圆锥曲线C的左、右焦点．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（2）设（1）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$．

分析（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由椭圆的标准方程确定相关点的坐标，再由点斜式写出直线l的直角坐标方程，最后转化为极坐标方程即可
（2）将直线方程与椭圆标准方程联立，利用韦达定理和能求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$．

解答解：（1）∵圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴普通方程为C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，∴A（0，-$\sqrt{3}$），F2（1，0），F1（-1，0）
∴kAF2=$\sqrt{3}$，l：y=$\sqrt{3}$（x+1）
∴直线l极坐标方程为：ρsinθ=$\sqrt{3}$ρcosθ+$\sqrt{3}$，
即2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．
（2）（2将直线y=$\sqrt{3}$（x+1）代入椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得5x²+8x=0，
设M（x₁，y₁，N（x₂，y₂，则x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=0，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x₂+1，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（1+$\sqrt{3}$）（x₁+1）（x₂+1）=（1+$\sqrt{3}$）[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]
=（1+$\sqrt{3}$）]（1-$\frac{8}{5}$）
=-$\frac{3}{5}$-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

点评本题考查了椭圆的参数方程，标准方程及其互化，直线的直角坐标方程及与其极坐标方程的互化，直线与椭圆的位置关系，求相交弦长的方法．

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A．

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B．

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C．

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D．

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