Question

11．（理）已知数列{a_n}、{b_n}的通项公式分布为a_n=（-1）^n-1a-1，b_n=（-1）ⁿ$\frac{1-2n}{2n+1}$，切对于一切的正整数n，恒有a_n＜b_n成立，则实数a的取值范围是$[0，\frac{4}{3}）$．

Answer 1

分析 对于一切的正整数n，恒有a_n＜b_n成立，可得（-1）^n-1a-1＜（-1）ⁿ$\frac{1-2n}{2n+1}$，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵对于一切的正整数n，恒有a_n＜b_n成立，
∴（-1）^n-1a-1＜（-1）ⁿ$\frac{1-2n}{2n+1}$，
当n为偶数时，-a-1＜$\frac{1-2n}{2n+1}$，可得a＞-1-$\frac{1-2n}{2n+1}$=$\frac{-2}{2n+1}$，∴a≥0．
当n为奇数时，a-1＜-$\frac{1-2n}{2n+1}$，可得a＜1-$\frac{1-2n}{2n+1}$=2-$\frac{2}{2n+1}$，∴a＜$\frac{4}{3}$．
综上可得：实数a的取值范围是$[0，\frac{4}{3}）$．
故答案为：$[0，\frac{4}{3}）$．

点评 本题考查了数列的单调性、分类讨论方法、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．