Question

9．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）．记 BD=x，V（x）为三棱锥A-BCD的体积．

（1）求V（x）的表达式；
（2）设函数$f（x）=\frac{3}{x}V（x）+2x$，当x为何值时，f（x）取得最小值，并求出该最小值；
（3）当f（x）取得最小值时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A-BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数；
（2）由（1），利用配方法，即可得出结论；
（3）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角．

解答 解：（1）设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=V（x）=$\frac{1}{3}$×AD×S_△BCD=$\frac{1}{3}$×（3-x）×$\frac{1}{2}$×x（3-x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x） x∈（0，3）；
（2）$f（x）=\frac{3}{x}V（x）+2x$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+4，
∴x=1时，f（x）取得最小值4；
（3）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，由（2）知，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），且$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1）
设N（0，λ，0），则$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴$\overrightarrow{EN}$•$\overrightarrow{BM}$=0
即（-1，1，1）•（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）=$\frac{1}{2}$+λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，
∴N（0，$\frac{1}{2}$，0）
∴当DN=$\frac{1}{2}$时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BN}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0）
∴得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{z=-x}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-\frac{1}{2}-1}{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题．