Question

4．设O为锐角△ABC的外心（三角形外接圆的圆心），$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，则cos∠BAC等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 分别在$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$两边乘以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，联立方程组解出．

解答 解：取AB中点D，AC中点E，并连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．
∴cos∠BAO=$\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2|\overrightarrow{AO}|}$，cos∠CAO=$\frac{|\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{2|\overrightarrow{AO}|}$．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠BAO=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAO=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²．
∵$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC，
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC+$\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{AC}$|²．
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC，
$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC+$\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{AC}$|²．
∴3|$\overrightarrow{AB}$|=4|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC，|$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|cos∠BAC．
∴cos²∠BAC=$\frac{3}{8}$，∵$∠BAC＜\frac{π}{2}$，
∴cos∠BAC=$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量数量积的计算，构造方程组是关键．