Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为常数）．若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．由已知条件推导出a≥

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]）
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），
又g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．