Question

14．若双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的离心率等于$\sqrt{2}$，直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A、B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若$|{AB}|=6\sqrt{3}$，点c是双曲线上一点，且$\overrightarrow{OC}=m（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，求k、m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，$b=1，\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²．基础即可得出．
直线y=kx-1与双曲线E联立可得：（1-k²）x²+2kx-2=0．利用直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A、B两点的特点即可得出．
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式可得k，再利用向量相等、点与双曲线的位置关系即可得出m．

解答 解：（1）由题意可知，$b=1，\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²．
∴a=b=1，
∴双曲线方程为E：x²-y²=1，
直线y=kx-1与双曲线E联立可得：（1-k²）x²+2kx-2=0．
则：$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△＞0\\ \frac{2k}{{{k^2}-1}}＞0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;⇒\;\;\;\;1＜k＜\sqrt{2}\\ \frac{2}{{{k^2}-1}}＞0\end{array}\right.$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{1-{k}^{2}}$．
∵$|{AB}|=6\sqrt{3}$，∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（{k}^{2}-1）^{2}}}$=6$\sqrt{3}$．
得：$28{k^4}-55{k^2}+25=0\;\;\;∴{k^2}=\frac{5}{7}或{k^2}=\frac{5}{4}$
又∵$1＜k＜\sqrt{2}\;\;\;\;∴\;k=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∵${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}=4\sqrt{5}\;\;\;\;\;\;{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2=8$．
设C（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OC}=m（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∴（x₀，y₀）=$（4\sqrt{5}m，8m）$，∴$80{m^2}-64{m^2}=1⇒m=±\frac{1}{4}$，
∴$k=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，m=±\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交弦长问题、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．