Question

6．已知函数图象$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$上相邻的最高点与最低点的坐标分别为$（\frac{5π}{12}，3），（\frac{11π}{12}，-3）$．
（1）求该函数的解析式．
（2）若$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A、T与ω的值，再再把点（$\frac{5π}{12}$，3）代入函数解析式求出φ的值即可；
（2）求x∈[0，$\frac{7π}{12}$]时2x-$\frac{π}{3}$的取值范围，求出sin（2x-$\frac{π}{3}$）的取值范围，即可求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意可得，A=3，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{6}$，
解得ω=2；
再把点（$\frac{5π}{12}$，3）代入函数的解析式可得：
3sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=3，即 sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1；
再结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{3}$，
故此函数的解析式为f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）x∈[0，$\frac{7π}{12}$]时，
2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
所以x=0时，sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时f（x）取得最小-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
x=$\frac{5π}{12}$时，sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1，此时f（x）取得最大值3，
所以函数f（x）的值域是[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3]．

点评 本题主要考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式与正弦函数的图象、性质的应用问题，是基础题目．