Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+n）（n为奇数）}\\{2{a}_{n}-n（n为偶数）}\end{array}\right.$，设b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+n）（n为奇数）}\\{2{a}_{n}-n（n为偶数）}\end{array}\right.$，可得：a_2k+1=2a_2k-2k=2×$\frac{1}{2}$（a_2k-1+2k-1）-2k=a_2k-1-1，可得a_2k+1-a_2k-1=-1，利用等差数列的通项公式可得：a_2k-1，a_2k+1代入b_n=a_2n+1+4n-2，即可得出．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+n）（n为奇数）}\\{2{a}_{n}-n（n为偶数）}\end{array}\right.$，
可得：a_2k+1=2a_2k-2k=2×$\frac{1}{2}$（a_2k-1+2k-1）-2k=a_2k-1-1，∴a_2k+1-a_2k-1=-1，
∴数列{a_2k-1}成等差数列，∴a_2k-1=2-（k-1）=3-k．
∴b_n=a_2n+1+4n-2=3-（n+1）+4n-2=3n．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．