Question

19．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N₊）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n．
（Ⅰ）令a_n=lgx_n，试求a₁+a₂+…+a₉的值；
（Ⅱ）令nf（n）=x_n，是否存在最大的正整数m，使得f（n）+f（n+1）+f（n+2）+…+f（2n-1）＞$\frac{m}{24}$对一切n∈N₊都成立？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切线的方程令令y=0得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，可得a_n=lgx_n，即可求a₁+a₂+…+a₉的值；
（Ⅱ）先求出m的最大值是11，再用数学归纳法证明．

解答 解：（Ⅰ）y′=（n+1）x^n-1（n∈N₊），∵点（1，1）在曲线y=xⁿ⁺¹上，∴切线斜率为k=n+1，
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，…（2分）
于是a_n=lg$\frac{n}{n+1}$，∴a₁+a₂+…+a₉=lg$\frac{1}{2}$+lg$\frac{2}{3}$+…+lg$\frac{9}{10}$=lg$\frac{1}{10}$=-1  …（4分）
（Ⅱ）由nf（n）=x_n得f（n）=$\frac{1}{n+1}$，∴f（n）+f（n+1）+f（n+2）+…+f（2n-1）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$
假设存在最大的正整数m，使$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{m}{24}$恒成立
当n=1时，由$\frac{1}{2}$＞$\frac{m}{24}$得，m＜12 …①；当n=2时，由$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞$\frac{m}{24}$得m＜14 …②；
当n=3时，由$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$＞$\frac{m}{24}$得m＜14.8 …③…（6分）
由①②③可猜测，m的最大值是11．…（8分）
下面用数学归纳法证明：不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{11}{24}$对一切n∈N₊都成立．
（1）当n=1时，由上述可知，不等式显然成立；
（2）假设n=k（k≥1，k∈N）时，命题成立，即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$＞$\frac{11}{24}$   …（10分）
那么当n=k+1时，
$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$+（$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$-$\frac{1}{k+1}$）
＞$\frac{11}{24}$+（$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$），∵$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$＞0，∴$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$＞$\frac{11}{24}$
即n=k+1时，不等式也成立．…（11分）
由（1）与（2）知，不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{11}{24}$对一切n∈N₊都成立．
因此，存在最大正整数m，且m=11满足题设．…（12分）

点评 本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．