Question

14．设P是圆O：x²+y²=1的一点，以x轴的非负半轴为始边，OP为终边的角记为θ（0≤θ＜2π），又向量$\overrightarrow{e}$=（$\sqrt{3}$，-1），且f（θ）=$\overrightarrow{e}•\overrightarrow{OP}$．
（1）求f（θ）的单调减区间；
（2）若关于θ的方程f（θ）=2sinα在[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$）内有两个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，运用向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式，可得函数f（θ），再由余弦函数的单调减区间，化简可得所求减区间；
（2）关于θ的方程f（θ）=2sinα在[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$）内有两个不同的解，即为y=cos（θ+$\frac{π}{6}$）的图象与y=2sinα有两个交点，求得2cos（θ+$\frac{π}{6}$）∈[-2，0]，再解sinα∈（-1，0]，可得α的取值范围．

解答 解：（1）设P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，
f（θ）=$\overrightarrow{e}•\overrightarrow{OP}$=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），
由2kπ≤θ+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，解得2kπ-$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
由0≤θ＜2π，当k=0时，-$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{5π}{6}$，
k=1时，$\frac{11π}{6}$≤θ≤$\frac{17π}{6}$，
即有f（θ）的单调减区间为[0，$\frac{5π}{6}$]，[$\frac{11π}{6}$，2π）；
（2）关于θ的方程f（θ）=2sinα在[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$）内有两个不同的解，
即有$\frac{π}{2}$≤θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，由y=cos（θ+$\frac{π}{6}$）的图象可得在[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]可得
2cos（θ+$\frac{π}{6}$）∈[-2，0]，
即有sinα∈（-1，0]，
解得α的取值范围是：2kπ+π≤α≤2kπ+2π，且α≠2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，两角和的余弦公式以及余弦函数的单调区间，同时考查方程与函数的关系，属于中档题．