Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件知A₁C₁，A₁B₁，A₁A三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出图形上各点的坐标．设平面B₁AC的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，而由条件知$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$为平面ABB₁A₁的一条法向量，只要$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0$即可得出平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（\sqrt{2}，0，1）$，设直线A₁C和平面B₁AC所成角为θ，则由sinθ=|cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{m}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{m}|}$即可求得sinθ；
（Ⅲ）设平面BB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，设二面角B-B₁C-A的大小为α，由cos$α=cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$即可求得cosα，从而求出二面角B-B₁C-A的大小．

解答 解：（Ⅰ）证明：根据条件知A₁C₁，A₁B₁，A₁A三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系；
设AB=BB₁=1，BB₁⊥平面ABC，∴∠B₁CB为直线B₁C与平面ABC所成角；
∴∠B₁CB=30°；
∴$BC=\sqrt{3}$，∠BAC=90°，∴$AC=\sqrt{2}$，所以：
A₁（0，0，0），A（0，0，1），B（0，1，1），C（$\sqrt{2}$，0，1），${B}_{1}（0，1，0），{C}_{1}（\sqrt{2}，0，0）$；
设平面B₁AC的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{2}，0，0），\overrightarrow{{B}_{1}C}=（\sqrt{2}，-1，1）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=\sqrt{2}{x}_{1}-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，∴$\overrightarrow{m}=（0，1，1）$；
A₁C₁⊥A₁B₁，A₁C₁⊥AA₁，AA₁∩A₁B₁=A₁；
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（\sqrt{2}，0，0）$为平面ABB₁A₁的一条法向量；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0$；
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（\sqrt{2}，0，1）$，设直线A₁C与平面B₁AC所成角为θ，则：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$；
∴直线A₁C与平面B₁AC所成角为$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（Ⅲ）设平面BB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（\sqrt{2}，-1，1），\overrightarrow{{B}_{1}B}=（0，0，1）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=\sqrt{2}{x}_{2}-{y}_{2}+{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}B}={z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，则$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{2}，0）$；
又平面B₁AC的一条法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，1）$，设二面角B-B₁C-A的大小为α，则：
$cosα=cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴二面角B-B₁C-A的大小为arc$cos\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，知道两平面垂直时，两平面法向量的关系，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式，弄清两平面形成二面角和平面法向量间夹角的关系．