Question

4．在△ABC中，∠B=45°，M、N分别为AC、AB的中点，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CN}$•$\overrightarrow{AB}$，则$\frac{BA}{BC}$+$\frac{BC}{BA}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用三角形的中线的性质得到$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）$，将已知等式变形得 ）=0，设BC的中点为Q，则AQ⊥BC，再结合∠B=45°得到所求．

解答 解：在△ABC中，M、N分别为边AC、AB的中点，
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）$，
又$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CN}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）•$\overrightarrow{AB}$，
即$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$；
∴$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos45°，
即${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AB}$|；
又${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{CB}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos45°=${\overrightarrow{CB}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AB}$|，
∴2$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AB}$|=${\overrightarrow{CB}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
∴${（\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{CB}|}）}^{2}$-2$\sqrt{2}$（$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{CB}|}$）+1=0，
解得$\frac{\overrightarrow{|AB}|}{\overrightarrow{|CB|}}$=$\sqrt{2}$+1，或$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{CB}|}$=$\sqrt{2}$-1；
∴当$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{CB}|}$=$\sqrt{2}$+1时，$\frac{BA}{BC}$+$\frac{BC}{BA}$=（$\sqrt{2}$+1）+$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=2$\sqrt{2}$，
当$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{CB}|}$=$\sqrt{2}$-1时，$\frac{BA}{BC}$+$\frac{BC}{BA}$=（$\sqrt{2}$-1）+$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=2$\sqrt{2}$；
综上，$\frac{BA}{BC}$+$\frac{BC}{BA}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，考查了运算能力与逻辑思维能力的应用问题．