Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线
其中真命题的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①，易知BC₁∥平面AD₁，BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，三棱锥A-D₁PC的体积不变，可判断①；
②，当P在直线BC₁上运动时，直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等，可判断②．
③，当P在直线BC₁上运动时，易知AP的轨迹是平面PAD₁，可判断③．
④，平面A₁B₁C₁D₁上的直线D₁A₁，符合题意，可判断④．

解答： 解：①∵BC₁∥AD₁，BC₁?平面AD₁C，AD₁?平面AD₁C，
∴BC₁∥平面AD₁C，BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，
∴VA-D1PC=VP-D1AC=VB-D1AC，为定值，即点P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变，故①正确；
②P在直线BC₁上运动时，直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等，故②不正确．
③当P在直线BC₁上运动时，AP的轨迹是平面ABC₁，即平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响，故③正确．
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，而DD₁=C₁D₁，
∴M点的轨迹是直线D₁A₁，故④正确．
综上所述，真命题为①③④，共3个，
故答案为：3．

点评：本题考查空间正方体中线面角、二面角的概念及应用，着重考查空间想象能力与推理运算能力，属于中档题．