Question

【题目】某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5- （其中0 x a，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为5+ 万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，利润y=t(5+ ）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x
由销售量t万件满足t=5－ （其中0≤x≤a ， a为正常数）．
代入化简可得：y=25－（ +x），（0≤x≤a ， a为正常数）
（2）解：由（1）知y =28－（ +x+3） ，
当且仅当 = x +3，即x =3时，上式取等号．
当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；
当0＜a＜3时，y在0≤x≤a上单调递增，
x = a ， 函数有最大值．促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．
综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；
当0＜a＜3时，促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大
【解析】（1）根据题目条件写出方程，进行化简即可，要注意自变量x的取值范围。
（2）先利用均值不等式求出最大值，再根据a的范围，判断投入多大时，利润最大。