Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=λa_n-1（

1

2

≤λ≤2且λ≠1，n∈N^*）．
（1）试判断数列{a_n}是否为等比数列，若不是，说明理由；若是，求数列{a_n}的公比f（λ）的取值范围；
（2）当λ=2时，数列{b_n}满足bn+1=an+bn(n∈N*)且b₁=3，若不等式 log2(bn-2)＜

3

16

n2+t对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）n=1时，a₁=S₁=λa₁-1，得a1=

1

λ-1

，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（λa_n-1）-（λa_n-1-1），故an=

λ

λ-1

an-1，由此能求出公比f（λ）的取值范围．
（2）由（1）知，an=

1

λ-1

(

λ

λ-1

)n-1，当λ=2时，an=2n-1，所以bn=2n-1+2，由此能求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）n=1时，a₁=S₁=λa₁-1，得a1=

1

λ-1

，（1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（λa_n-1）-（λa_n-1-1），
∴an=

λ

λ-1

an-1，（3分）
∴{a_n}是以

1

λ-1

为首项，

λ

λ-1

为公比的等比数列，（4分）
∴公比f(λ)=

λ

λ-1

=1+

1

λ-1

在[

1

2

，1)和（1，2]内分别递减，
∴f（λ）∈（-∞，-1]∪[2，+∞）．（7分）
（2）由（1）知，an=

1

λ-1

(

λ

λ-1

)n-1，
当λ=2时，an=2n-1，（8分），
∴bn+1-bn=an=2n-1，叠加可得bn=2n-1+2，（10分）
由log2(bn-2)＜

3

16

n2+t对任意n∈N^*恒成立，
得n-1＜

3

16

n2+t对任意n∈N^*恒成立，
即t＞(-

3

16

n2+n-1)max，（12分）
而-

3

16

n2+n-1=-

3

16

(n-

8

3

)2+

1

3

，
∴当n=3时，(-

3

16

n2+n-1)max=

5

16

，（14分）
∴t＞

5

16

．（15分）

点评：本题考查满足条件的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意叠加法的合理运用．