Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且f（-1）=2，则f（2013）等于（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、6

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据偶函数的定义，结合f（x+4）=f（x）+2f（2），令x=-2，求出f（2）=0，从而函数f（x）是周期为4的函数，f（2013）=f（1），再由偶函数的定义得f（1）=f（-1），由条件即得．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-2）=f（2），
∵对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2，则f（2）=f（-2）+2f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是最小正周期为4的函数，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-1）=f（1），
又f（-1）=2，
∴f（2013）=2，
故选A．

点评：本题主要考查函数的周期性及应用，函数的奇偶性的定义和运用，考查解决抽象函数常用的方法：赋值法，正确赋值是解题的关键．