Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁B；
（Ⅱ）若AD=

3

，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P-A₁BC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证BC⊥A₁B，可寻找线面垂直，而A₁A⊥BC，AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AB，问题得证；
（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A₁A⊥面BPC，求三棱锥P-A₁BC的体积可转化成求三棱锥A₁-PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴A₁A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC （2分）
∵AD⊥平面A₁BC，且BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，
AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AB，（5分）
又A₁B?平面A₁BC，
∴BC⊥A₁B；（6分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥AB．
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt∠△ABD中，AD=

3

，AB=BC=2，
sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∠ABD=60°，
在Rt∠△ABA₁中，AA1=AB•tan600=2

3

．（8分）
由（Ⅰ）知BC⊥平面A₁AB，AB?平面A₁AB，
从而BC⊥AB，S△ABC•=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2．
∵P为AC的中点，S△BCP=

1

2

S△ABC=1（10分）
∴VP-A1BC=VA1-BCP=

1

3

S△BCP•A1A=

1

3

×1×2

3

=

2 3

3

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．