Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n＞0，b_n=

anan+1

，且{b_n}是以

2

为公比的等比数列，若c_n=a_2n-1+2a_2n，则数列{c_n}的前n项和为（　　）

• A、5×2ⁿ-5
• B、3×2ⁿ-3
• C、2ⁿ⁺¹-2
• D、2ⁿ-1

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出{c_n}是等比数列，公比q=2，c₁=a₁+2a₂=5，由此能求出数列{c_n}的前n项和．

解答： 解：b₁=

a1a2

=

2

，
b₂=

2

b₁=

a2a3

，a₃=

2b12

a2

=2，
b_n=b₁（

2

）^n-1=

anan+1

，
b_n+2=b₁qⁿ=

an+1an+2

，
a_na_n+1=2（

2

）^n-1，
a_n+2a_n+1=2（

2

）ⁿ⁺¹，

an

an+2

=

1

2

，
a_n+2=2a_n，
c_n=a_2n-1+2a_2n，
a_2n+2=2a_2n，
a_2n+1=a_2n-1+2=2a_2n-1，

cn+1

cn

=

a2n-1+2+2a2n+2

a2n-1+2a2n

=

2(a2n-1+2a2n)

a2n-1+2a2n

=2，
∴{c_n}是等比数列，公比q=2，
c₁=a₁+2a₂=5，
∴数列{c_n}的前n项和为：
S_n=

5(1-2n)

1-2

=5•2ⁿ-5．
故选：A．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．